\(\int \frac {(A+C \cos ^2(c+d x)) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx\) [590]

Optimal result

Integrand size = 31, antiderivative size = 301 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {b \left (7 a^2 A b^4-2 A b^6-a^4 b^2 (8 A-C)+4 a^6 (2 A+C)\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^4 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}+\frac {A \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^4 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (3 A b^4-2 a^4 C-a^2 b^2 (8 A+3 C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (17 a^2 A b^4-6 A b^6-2 a^6 C-13 a^4 b^2 (2 A+C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-b*(7*a^2*A*b^4-2*A*b^6-a^4*b^2*(8*A-C)+4*a^6*(2*A+C))*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/a^4/
(a-b)^(7/2)/(a+b)^(7/2)/d+A*arctanh(sin(d*x+c))/a^4/d+1/3*(A*b^2+C*a^2)*sin(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+
c))^3-1/6*(3*A*b^4-2*a^4*C-a^2*b^2*(8*A+3*C))*sin(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))^2-1/6*(17*a^2*A*b^
4-6*A*b^6-2*a^6*C-13*a^4*b^2*(2*A+C))*sin(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 1.47 (sec) , antiderivative size = 301, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.194, Rules used = {3135, 3134, 3080, 3855, 2738, 211} \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {A \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^4 d}+\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \sin (c+d x)}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (-2 a^4 C-a^2 b^2 (8 A+3 C)+3 A b^4\right ) \sin (c+d x)}{6 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {b \left (4 a^6 (2 A+C)-a^4 b^2 (8 A-C)+7 a^2 A b^4-2 A b^6\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^4 d (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2}}-\frac {\left (-2 a^6 C-13 a^4 b^2 (2 A+C)+17 a^2 A b^4-6 A b^6\right ) \sin (c+d x)}{6 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))} \]

[In]

Int[((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

-((b*(7*a^2*A*b^4 - 2*A*b^6 - a^4*b^2*(8*A - C) + 4*a^6*(2*A + C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[
a + b]])/(a^4*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) + (A*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^4*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d
*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((3*A*b^4 - 2*a^4*C - a^2*b^2*(8*A + 3*C))*Sin[c + d*x])/(6*
a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((17*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 - 2*a^6*C - 13*a^4*b^2*(2*A + C))*Sin[c
+ d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3080

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Dist[(B*c - A
*d)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3135

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 + a^2*C))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c
+ d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)),
Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C) + d*(A*b^2 + a^2*C
)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 + a^2*C) + b*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 + a^2*C)*(m + n +
3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && L
tQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\int \frac {\left (3 A \left (a^2-b^2\right )-3 a b (A+C) \cos (c+d x)+2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx}{3 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (3 A b^4-2 a^4 C-a^2 b^2 (8 A+3 C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\left (6 A \left (a^2-b^2\right )^2+2 a b \left (A b^2-a^2 (6 A+5 C)\right ) \cos (c+d x)-\left (3 A b^4-2 a^4 C-a^2 b^2 (8 A+3 C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (3 A b^4-2 a^4 C-a^2 b^2 (8 A+3 C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (17 a^2 A b^4-6 A b^6-2 a^6 C-13 a^4 b^2 (2 A+C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (6 A \left (a^2-b^2\right )^3-3 a b \left (A b^4-a^2 b^2 (2 A-C)+a^4 (6 A+4 C)\right ) \cos (c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (3 A b^4-2 a^4 C-a^2 b^2 (8 A+3 C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (17 a^2 A b^4-6 A b^6-2 a^6 C-13 a^4 b^2 (2 A+C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {A \int \sec (c+d x) \, dx}{a^4}-\frac {\left (b \left (7 a^2 A b^4-2 A b^6-a^4 b^2 (8 A-C)+4 a^6 (2 A+C)\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {A \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^4 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (3 A b^4-2 a^4 C-a^2 b^2 (8 A+3 C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (17 a^2 A b^4-6 A b^6-2 a^6 C-13 a^4 b^2 (2 A+C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (b \left (7 a^2 A b^4-2 A b^6-a^4 b^2 (8 A-C)+4 a^6 (2 A+C)\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = -\frac {b \left (8 a^6 A-8 a^4 A b^2+7 a^2 A b^4-2 A b^6+4 a^6 C+a^4 b^2 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^4 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}+\frac {A \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^4 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (3 A b^4-2 a^4 C-a^2 b^2 (8 A+3 C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (17 a^2 A b^4-6 A b^6-2 a^6 C-13 a^4 b^2 (2 A+C)\right ) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 7.20 (sec) , antiderivative size = 498, normalized size of antiderivative = 1.65 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {\cos (c+d x) (C \cos (c+d x)+A \sec (c+d x)) \left (-\frac {6 A \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^4}+\frac {6 A \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^4}+\frac {6 b \left (7 a^2 A b^4-2 A b^6+a^4 b^2 (-8 A+C)+4 a^6 (2 A+C)\right ) \arctan \left (\frac {(i \cos (c)+\sin (c)) \left (b \sin (c)+(-a+b \cos (c)) \tan \left (\frac {d x}{2}\right )\right )}{\sqrt {-\left (\left (a^2-b^2\right ) (\cos (c)-i \sin (c))^2\right )}}\right ) (i \cos (c)+\sin (c))}{a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 \sqrt {-\left (\left (a^2-b^2\right ) (\cos (c)-i \sin (c))^2\right )}}+\frac {2 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c) (-a \sin (c)+b \sin (d x))}{a b \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (-17 a^2 A b^4+6 A b^6+2 a^6 C+13 a^4 b^2 (2 A+C)\right ) \sec (c) \sin (d x)-3 a b \left (A b^4+a^2 b^2 (-2 A+C)+a^4 (6 A+4 C)\right ) \tan (c)}{\left (a^3-a b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (-3 A b^4+2 a^4 C+a^2 b^2 (8 A+3 C)\right ) \sec (c) \sin (d x)+a b \left (A b^2-a^2 (6 A+5 C)\right ) \tan (c)}{a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}\right )}{3 d (2 A+C+C \cos (2 (c+d x)))} \]

[In]

Integrate[((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x])/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

(Cos[c + d*x]*(C*Cos[c + d*x] + A*Sec[c + d*x])*((-6*A*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(c + d*x)/2]])/a^4 + (6*A*Lo
g[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]])/a^4 + (6*b*(7*a^2*A*b^4 - 2*A*b^6 + a^4*b^2*(-8*A + C) + 4*a^6*(2*A +
C))*ArcTan[((I*Cos[c] + Sin[c])*(b*Sin[c] + (-a + b*Cos[c])*Tan[(d*x)/2]))/Sqrt[-((a^2 - b^2)*(Cos[c] - I*Sin[
c])^2)]]*(I*Cos[c] + Sin[c]))/(a^4*(a^2 - b^2)^3*Sqrt[-((a^2 - b^2)*(Cos[c] - I*Sin[c])^2)]) + (2*(A*b^2 + a^2
*C)*Sec[c]*(-(a*Sin[c]) + b*Sin[d*x]))/(a*b*(a^2 - b^2)*(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((-17*a^2*A*b^4 + 6*A*b^6 +
2*a^6*C + 13*a^4*b^2*(2*A + C))*Sec[c]*Sin[d*x] - 3*a*b*(A*b^4 + a^2*b^2*(-2*A + C) + a^4*(6*A + 4*C))*Tan[c])
/((a^3 - a*b^2)^3*(a + b*Cos[c + d*x])) + ((-3*A*b^4 + 2*a^4*C + a^2*b^2*(8*A + 3*C))*Sec[c]*Sin[d*x] + a*b*(A
*b^2 - a^2*(6*A + 5*C))*Tan[c])/(a^2*(a^2 - b^2)^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2)))/(3*d*(2*A + C + C*Cos[2*(c + d*x)
]))

Maple [A] (verified)

Time = 3.51 (sec) , antiderivative size = 498, normalized size of antiderivative = 1.65

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {2 \left (\frac {-\frac {\left (12 A \,a^{4} b^{2}+4 A \,a^{3} b^{3}-6 A \,a^{2} b^{4}-A a \,b^{5}+2 A \,b^{6}+2 C \,a^{6}+2 C \,a^{5} b +6 C \,a^{4} b^{2}+C \,a^{3} b^{3}\right ) a \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}-\frac {2 \left (18 A \,a^{4} b^{2}-11 A \,a^{2} b^{4}+3 A \,b^{6}+3 C \,a^{6}+7 C \,a^{4} b^{2}\right ) a \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (12 A \,a^{4} b^{2}-4 A \,a^{3} b^{3}-6 A \,a^{2} b^{4}+A a \,b^{5}+2 A \,b^{6}+2 C \,a^{6}-2 C \,a^{5} b +6 C \,a^{4} b^{2}-C \,a^{3} b^{3}\right ) a \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {b \left (8 A \,a^{6}-8 A \,a^{4} b^{2}+7 A \,a^{2} b^{4}-2 A \,b^{6}+4 C \,a^{6}+C \,a^{4} b^{2}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{4}}+\frac {A \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{4}}-\frac {A \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{4}}}{d}\)	\(498\)
default	\(\frac {-\frac {2 \left (\frac {-\frac {\left (12 A \,a^{4} b^{2}+4 A \,a^{3} b^{3}-6 A \,a^{2} b^{4}-A a \,b^{5}+2 A \,b^{6}+2 C \,a^{6}+2 C \,a^{5} b +6 C \,a^{4} b^{2}+C \,a^{3} b^{3}\right ) a \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}-\frac {2 \left (18 A \,a^{4} b^{2}-11 A \,a^{2} b^{4}+3 A \,b^{6}+3 C \,a^{6}+7 C \,a^{4} b^{2}\right ) a \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (12 A \,a^{4} b^{2}-4 A \,a^{3} b^{3}-6 A \,a^{2} b^{4}+A a \,b^{5}+2 A \,b^{6}+2 C \,a^{6}-2 C \,a^{5} b +6 C \,a^{4} b^{2}-C \,a^{3} b^{3}\right ) a \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {b \left (8 A \,a^{6}-8 A \,a^{4} b^{2}+7 A \,a^{2} b^{4}-2 A \,b^{6}+4 C \,a^{6}+C \,a^{4} b^{2}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{4}}+\frac {A \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{4}}-\frac {A \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{4}}}{d}\)	\(498\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1714\)

[In]

int((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)/(a+cos(d*x+c)*b)^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(-2/a^4*((-1/2*(12*A*a^4*b^2+4*A*a^3*b^3-6*A*a^2*b^4-A*a*b^5+2*A*b^6+2*C*a^6+2*C*a^5*b+6*C*a^4*b^2+C*a^3*b
^3)*a/(a-b)/(a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^5-2/3*(18*A*a^4*b^2-11*A*a^2*b^4+3*A*b^6+3*C*a^6+7*C*
a^4*b^2)*a/(a^2+2*a*b+b^2)/(a^2-2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*(12*A*a^4*b^2-4*A*a^3*b^3-6*A*a^2*b^4+A*a*
b^5+2*A*b^6+2*C*a^6-2*C*a^5*b+6*C*a^4*b^2-C*a^3*b^3)*a/(a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(ta
n(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^3+1/2*b*(8*A*a^6-8*A*a^4*b^2+7*A*a^2*b^4-2*A*b^6+4*C*a^6+C*a^
4*b^2)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))
+A/a^4*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)-A/a^4*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1045 vs. \(2 (285) = 570\).

Time = 15.18 (sec) , antiderivative size = 2159, normalized size of antiderivative = 7.17 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/12*(3*(4*(2*A + C)*a^9*b - (8*A - C)*a^7*b^3 + 7*A*a^5*b^5 - 2*A*a^3*b^7 + (4*(2*A + C)*a^6*b^4 - (8*A - C
)*a^4*b^6 + 7*A*a^2*b^8 - 2*A*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 3*(4*(2*A + C)*a^7*b^3 - (8*A - C)*a^5*b^5 + 7*A*a^3*b^7
- 2*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^2 + 3*(4*(2*A + C)*a^8*b^2 - (8*A - C)*a^6*b^4 + 7*A*a^4*b^6 - 2*A*a^2*b^8)*cos(d*x
+ c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x
+ c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - 6*(A*a^11 - 4*A*a^9*b
^2 + 6*A*a^7*b^4 - 4*A*a^5*b^6 + A*a^3*b^8 + (A*a^8*b^3 - 4*A*a^6*b^5 + 6*A*a^4*b^7 - 4*A*a^2*b^9 + A*b^11)*co
s(d*x + c)^3 + 3*(A*a^9*b^2 - 4*A*a^7*b^4 + 6*A*a^5*b^6 - 4*A*a^3*b^8 + A*a*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(A*a^10*b
- 4*A*a^8*b^3 + 6*A*a^6*b^5 - 4*A*a^4*b^7 + A*a^2*b^9)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) + 6*(A*a^11 - 4*A*
a^9*b^2 + 6*A*a^7*b^4 - 4*A*a^5*b^6 + A*a^3*b^8 + (A*a^8*b^3 - 4*A*a^6*b^5 + 6*A*a^4*b^7 - 4*A*a^2*b^9 + A*b^1
1)*cos(d*x + c)^3 + 3*(A*a^9*b^2 - 4*A*a^7*b^4 + 6*A*a^5*b^6 - 4*A*a^3*b^8 + A*a*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(A*a
^10*b - 4*A*a^8*b^3 + 6*A*a^6*b^5 - 4*A*a^4*b^7 + A*a^2*b^9)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) - 2*(6*C*a^1
1 + 4*(9*A + C)*a^9*b^2 - (68*A + 11*C)*a^7*b^4 + (43*A + C)*a^5*b^6 - 11*A*a^3*b^8 + (2*C*a^9*b^2 + (26*A + 1
1*C)*a^7*b^4 - (43*A + 13*C)*a^5*b^6 + 23*A*a^3*b^8 - 6*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(2*C*a^10*b + (20*A + 7*C
)*a^8*b^3 - 5*(7*A + 2*C)*a^6*b^5 + (20*A + C)*a^4*b^7 - 5*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^12*b^3 -
4*a^10*b^5 + 6*a^8*b^7 - 4*a^6*b^9 + a^4*b^11)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^13*b^2 - 4*a^11*b^4 + 6*a^9*b^6 - 4*a^
7*b^8 + a^5*b^10)*d*cos(d*x + c)^2 + 3*(a^14*b - 4*a^12*b^3 + 6*a^10*b^5 - 4*a^8*b^7 + a^6*b^9)*d*cos(d*x + c)
+ (a^15 - 4*a^13*b^2 + 6*a^11*b^4 - 4*a^9*b^6 + a^7*b^8)*d), -1/6*(3*(4*(2*A + C)*a^9*b - (8*A - C)*a^7*b^3 +
7*A*a^5*b^5 - 2*A*a^3*b^7 + (4*(2*A + C)*a^6*b^4 - (8*A - C)*a^4*b^6 + 7*A*a^2*b^8 - 2*A*b^10)*cos(d*x + c)^3
+ 3*(4*(2*A + C)*a^7*b^3 - (8*A - C)*a^5*b^5 + 7*A*a^3*b^7 - 2*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^2 + 3*(4*(2*A + C)*a^8*b
^2 - (8*A - C)*a^6*b^4 + 7*A*a^4*b^6 - 2*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)
/(sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - 3*(A*a^11 - 4*A*a^9*b^2 + 6*A*a^7*b^4 - 4*A*a^5*b^6 + A*a^3*b^8 + (A*a^8*b^
3 - 4*A*a^6*b^5 + 6*A*a^4*b^7 - 4*A*a^2*b^9 + A*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(A*a^9*b^2 - 4*A*a^7*b^4 + 6*A*a^5*b^
6 - 4*A*a^3*b^8 + A*a*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(A*a^10*b - 4*A*a^8*b^3 + 6*A*a^6*b^5 - 4*A*a^4*b^7 + A*a^2*b^9
)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) + 3*(A*a^11 - 4*A*a^9*b^2 + 6*A*a^7*b^4 - 4*A*a^5*b^6 + A*a^3*b^8 + (A*a
^8*b^3 - 4*A*a^6*b^5 + 6*A*a^4*b^7 - 4*A*a^2*b^9 + A*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(A*a^9*b^2 - 4*A*a^7*b^4 + 6*A*a
^5*b^6 - 4*A*a^3*b^8 + A*a*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(A*a^10*b - 4*A*a^8*b^3 + 6*A*a^6*b^5 - 4*A*a^4*b^7 + A*a^
2*b^9)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) - (6*C*a^11 + 4*(9*A + C)*a^9*b^2 - (68*A + 11*C)*a^7*b^4 + (43*A
+ C)*a^5*b^6 - 11*A*a^3*b^8 + (2*C*a^9*b^2 + (26*A + 11*C)*a^7*b^4 - (43*A + 13*C)*a^5*b^6 + 23*A*a^3*b^8 - 6*
A*a*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(2*C*a^10*b + (20*A + 7*C)*a^8*b^3 - 5*(7*A + 2*C)*a^6*b^5 + (20*A + C)*a^4*b^7 -
5*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^12*b^3 - 4*a^10*b^5 + 6*a^8*b^7 - 4*a^6*b^9 + a^4*b^11)*d*cos(d*
x + c)^3 + 3*(a^13*b^2 - 4*a^11*b^4 + 6*a^9*b^6 - 4*a^7*b^8 + a^5*b^10)*d*cos(d*x + c)^2 + 3*(a^14*b - 4*a^12*
b^3 + 6*a^10*b^5 - 4*a^8*b^7 + a^6*b^9)*d*cos(d*x + c) + (a^15 - 4*a^13*b^2 + 6*a^11*b^4 - 4*a^9*b^6 + a^7*b^8
)*d)]

Sympy [F]

\[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\int \frac {\left (A + C \cos ^{2}{\left (c + d x \right )}\right ) \sec {\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \cos {\left (c + d x \right )}\right )^{4}}\, dx \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)**2)*sec(d*x+c)/(a+b*cos(d*x+c))**4,x)

[Out]

Integral((A + C*cos(c + d*x)**2)*sec(c + d*x)/(a + b*cos(c + d*x))**4, x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 868 vs. \(2 (285) = 570\).

Time = 0.38 (sec) , antiderivative size = 868, normalized size of antiderivative = 2.88 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/3*(3*(8*A*a^6*b + 4*C*a^6*b - 8*A*a^4*b^3 + C*a^4*b^3 + 7*A*a^2*b^5 - 2*A*b^7)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi +
1/2)*sgn(2*a - 2*b) + arctan((a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^10 - 3*a
^8*b^2 + 3*a^6*b^4 - a^4*b^6)*sqrt(a^2 - b^2)) - 3*A*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/a^4 + 3*A*log(abs(tan(
1/2*d*x + 1/2*c) - 1))/a^4 - (6*C*a^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*C*a^7*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*A*a^6*b^2
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 12*C*a^6*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 60*A*a^5*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 27*C*a^5
*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*A*a^4*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 12*C*a^4*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 45*A*
a^3*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 3*C*a^3*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*A*a^2*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 15*
A*a*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*A*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 12*C*a^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 72*A*a^6*b
^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 16*C*a^6*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 116*A*a^4*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 28*C*
a^4*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 56*A*a^2*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 12*A*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 6*C*a
^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*C*a^7*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 36*A*a^6*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 12*C*a^6*b^2*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c) + 60*A*a^5*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 27*C*a^5*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*A*a^4*b^4*tan(1
/2*d*x + 1/2*c) + 12*C*a^4*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 45*A*a^3*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 3*C*a^3*b^5*tan(1/2*
d*x + 1/2*c) - 6*A*a^2*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 15*A*a*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*A*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*
c))/((a^9 - 3*a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 - a^3*b^6)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^3))
/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 17.55 (sec) , antiderivative size = 9766, normalized size of antiderivative = 32.45 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + C*cos(c + d*x)^2)/(cos(c + d*x)*(a + b*cos(c + d*x))^4),x)

[Out]

- ((tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*A*b^6 + 2*C*a^6 - 6*A*a^2*b^4 - 4*A*a^3*b^3 + 12*A*a^4*b^2 - C*a^3*b^3 + 6*C*a^4*b^2
+ A*a*b^5 - 2*C*a^5*b))/((a + b)*(3*a^5*b - a^6 + a^3*b^3 - 3*a^4*b^2)) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(3*A*b^6 +
3*C*a^6 - 11*A*a^2*b^4 + 18*A*a^4*b^2 + 7*C*a^4*b^2))/(3*(a + b)^2*(a^5 - 2*a^4*b + a^3*b^2)) + (tan(c/2 + (d*
x)/2)^5*(2*A*b^6 + 2*C*a^6 - 6*A*a^2*b^4 + 4*A*a^3*b^3 + 12*A*a^4*b^2 + C*a^3*b^3 + 6*C*a^4*b^2 - A*a*b^5 + 2*
C*a^5*b))/((a^3*b - a^4)*(a + b)^3))/(d*(3*a*b^2 - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(3*a*b^2 + 3*a^2*b - 3*a^3 - 3*b^3) -
tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(3*a*b^2 - 3*a^2*b - 3*a^3 + 3*b^3) + 3*a^2*b + a^3 + b^3 + tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(3*a*b^2
- 3*a^2*b + a^3 - b^3))) - (A*atan(((A*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*a^14 + 8*A^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 8*A^2
*a^13*b - 48*A^2*a^2*b^12 + 48*A^2*a^3*b^11 + 117*A^2*a^4*b^10 - 120*A^2*a^5*b^9 - 164*A^2*a^6*b^8 + 160*A^2*a
^7*b^7 + 156*A^2*a^8*b^6 - 120*A^2*a^9*b^5 - 92*A^2*a^10*b^4 + 48*A^2*a^11*b^3 + 44*A^2*a^12*b^2 + C^2*a^8*b^6
+ 8*C^2*a^10*b^4 + 16*C^2*a^12*b^2 - 4*A*C*a^4*b^10 - 2*A*C*a^6*b^8 + 40*A*C*a^8*b^6 - 48*A*C*a^10*b^4 + 64*A
*C*a^12*b^2))/(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^
12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2) + (A*((8*(4*A*a^21 - 4*A*a^8*b^13 + 2*A*a^9*b^12 + 26*A*a^10*b
^11 - 14*A*a^11*b^10 - 70*A*a^12*b^9 + 30*A*a^13*b^8 + 110*A*a^14*b^7 - 30*A*a^15*b^6 - 110*A*a^16*b^5 + 20*A*
a^17*b^4 + 64*A*a^18*b^3 - 12*A*a^19*b^2 - 2*C*a^11*b^10 + 2*C*a^12*b^9 - 2*C*a^13*b^8 + 2*C*a^14*b^7 + 18*C*a
^15*b^6 - 18*C*a^16*b^5 - 22*C*a^17*b^4 + 22*C*a^18*b^3 + 8*C*a^19*b^2 - 16*A*a^20*b - 8*C*a^20*b))/(a^19*b +
a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10 + 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^8 - 10*a^13*b^7 - 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4
- 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2) + (8*A*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^21*b - 8*a^8*b^14 + 8*a^9*b^13 + 48*a^10*b^12 - 48*a
^11*b^11 - 120*a^12*b^10 + 120*a^13*b^9 + 160*a^14*b^8 - 160*a^15*b^7 - 120*a^16*b^6 + 120*a^17*b^5 + 48*a^18*
b^4 - 48*a^19*b^3 - 8*a^20*b^2))/(a^4*(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b
^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2))))/a^4)*1i)/a^4 + (A*((8*tan(c/2 + (d*
x)/2)*(4*A^2*a^14 + 8*A^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 8*A^2*a^13*b - 48*A^2*a^2*b^12 + 48*A^2*a^3*b^11 + 117*A^2*a^4
*b^10 - 120*A^2*a^5*b^9 - 164*A^2*a^6*b^8 + 160*A^2*a^7*b^7 + 156*A^2*a^8*b^6 - 120*A^2*a^9*b^5 - 92*A^2*a^10*
b^4 + 48*A^2*a^11*b^3 + 44*A^2*a^12*b^2 + C^2*a^8*b^6 + 8*C^2*a^10*b^4 + 16*C^2*a^12*b^2 - 4*A*C*a^4*b^10 - 2*
A*C*a^6*b^8 + 40*A*C*a^8*b^6 - 48*A*C*a^10*b^4 + 64*A*C*a^12*b^2))/(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^
8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2) - (A*((8*
(4*A*a^21 - 4*A*a^8*b^13 + 2*A*a^9*b^12 + 26*A*a^10*b^11 - 14*A*a^11*b^10 - 70*A*a^12*b^9 + 30*A*a^13*b^8 + 11
0*A*a^14*b^7 - 30*A*a^15*b^6 - 110*A*a^16*b^5 + 20*A*a^17*b^4 + 64*A*a^18*b^3 - 12*A*a^19*b^2 - 2*C*a^11*b^10
+ 2*C*a^12*b^9 - 2*C*a^13*b^8 + 2*C*a^14*b^7 + 18*C*a^15*b^6 - 18*C*a^16*b^5 - 22*C*a^17*b^4 + 22*C*a^18*b^3 +
8*C*a^19*b^2 - 16*A*a^20*b - 8*C*a^20*b))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10 + 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^8 - 1
0*a^13*b^7 - 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2) - (8*A*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a
^21*b - 8*a^8*b^14 + 8*a^9*b^13 + 48*a^10*b^12 - 48*a^11*b^11 - 120*a^12*b^10 + 120*a^13*b^9 + 160*a^14*b^8 -
160*a^15*b^7 - 120*a^16*b^6 + 120*a^17*b^5 + 48*a^18*b^4 - 48*a^19*b^3 - 8*a^20*b^2))/(a^4*(a^16*b + a^17 - a^
6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3
- 5*a^15*b^2))))/a^4)*1i)/a^4)/((16*(4*A^3*b^13 - 2*A^3*a*b^12 + 16*A^3*a^12*b - 26*A^3*a^2*b^11 + 11*A^3*a^3
*b^10 + 70*A^3*a^4*b^9 - 34*A^3*a^5*b^8 - 110*A^3*a^6*b^7 + 66*A^3*a^7*b^6 + 110*A^3*a^8*b^5 - 64*A^3*a^9*b^4
- 64*A^3*a^10*b^3 + 48*A^3*a^11*b^2 + 8*A^2*C*a^12*b + A*C^2*a^7*b^6 + 8*A*C^2*a^9*b^4 + 16*A*C^2*a^11*b^2 - 2
*A^2*C*a^3*b^10 - 2*A^2*C*a^4*b^9 - 2*A^2*C*a^6*b^7 + 22*A^2*C*a^7*b^6 + 18*A^2*C*a^8*b^5 - 26*A^2*C*a^9*b^4 -
22*A^2*C*a^10*b^3 + 56*A^2*C*a^11*b^2))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10 + 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^8 - 10*
a^13*b^7 - 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2) + (A*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A
^2*a^14 + 8*A^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 8*A^2*a^13*b - 48*A^2*a^2*b^12 + 48*A^2*a^3*b^11 + 117*A^2*a^4*b^10 - 12
0*A^2*a^5*b^9 - 164*A^2*a^6*b^8 + 160*A^2*a^7*b^7 + 156*A^2*a^8*b^6 - 120*A^2*a^9*b^5 - 92*A^2*a^10*b^4 + 48*A
^2*a^11*b^3 + 44*A^2*a^12*b^2 + C^2*a^8*b^6 + 8*C^2*a^10*b^4 + 16*C^2*a^12*b^2 - 4*A*C*a^4*b^10 - 2*A*C*a^6*b^
8 + 40*A*C*a^8*b^6 - 48*A*C*a^10*b^4 + 64*A*C*a^12*b^2))/(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*
a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2) + (A*((8*(4*A*a^21
- 4*A*a^8*b^13 + 2*A*a^9*b^12 + 26*A*a^10*b^11 - 14*A*a^11*b^10 - 70*A*a^12*b^9 + 30*A*a^13*b^8 + 110*A*a^14*b
^7 - 30*A*a^15*b^6 - 110*A*a^16*b^5 + 20*A*a^17*b^4 + 64*A*a^18*b^3 - 12*A*a^19*b^2 - 2*C*a^11*b^10 + 2*C*a^12
*b^9 - 2*C*a^13*b^8 + 2*C*a^14*b^7 + 18*C*a^15*b^6 - 18*C*a^16*b^5 - 22*C*a^17*b^4 + 22*C*a^18*b^3 + 8*C*a^19*
b^2 - 16*A*a^20*b - 8*C*a^20*b))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10 + 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^8 - 10*a^13*b^7
- 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2) + (8*A*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^21*b - 8*
a^8*b^14 + 8*a^9*b^13 + 48*a^10*b^12 - 48*a^11*b^11 - 120*a^12*b^10 + 120*a^13*b^9 + 160*a^14*b^8 - 160*a^15*b
^7 - 120*a^16*b^6 + 120*a^17*b^5 + 48*a^18*b^4 - 48*a^19*b^3 - 8*a^20*b^2))/(a^4*(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a
^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*
b^2))))/a^4))/a^4 - (A*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*a^14 + 8*A^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 8*A^2*a^13*b - 48*A^2*
a^2*b^12 + 48*A^2*a^3*b^11 + 117*A^2*a^4*b^10 - 120*A^2*a^5*b^9 - 164*A^2*a^6*b^8 + 160*A^2*a^7*b^7 + 156*A^2*
a^8*b^6 - 120*A^2*a^9*b^5 - 92*A^2*a^10*b^4 + 48*A^2*a^11*b^3 + 44*A^2*a^12*b^2 + C^2*a^8*b^6 + 8*C^2*a^10*b^4
+ 16*C^2*a^12*b^2 - 4*A*C*a^4*b^10 - 2*A*C*a^6*b^8 + 40*A*C*a^8*b^6 - 48*A*C*a^10*b^4 + 64*A*C*a^12*b^2))/(a^
16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*
b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2) - (A*((8*(4*A*a^21 - 4*A*a^8*b^13 + 2*A*a^9*b^12 + 26*A*a^10*b^11 - 14*A*a^11*b
^10 - 70*A*a^12*b^9 + 30*A*a^13*b^8 + 110*A*a^14*b^7 - 30*A*a^15*b^6 - 110*A*a^16*b^5 + 20*A*a^17*b^4 + 64*A*a
^18*b^3 - 12*A*a^19*b^2 - 2*C*a^11*b^10 + 2*C*a^12*b^9 - 2*C*a^13*b^8 + 2*C*a^14*b^7 + 18*C*a^15*b^6 - 18*C*a^
16*b^5 - 22*C*a^17*b^4 + 22*C*a^18*b^3 + 8*C*a^19*b^2 - 16*A*a^20*b - 8*C*a^20*b))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 -
a^10*b^10 + 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^8 - 10*a^13*b^7 - 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*
a^18*b^2) - (8*A*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^21*b - 8*a^8*b^14 + 8*a^9*b^13 + 48*a^10*b^12 - 48*a^11*b^11 - 120*a^
12*b^10 + 120*a^13*b^9 + 160*a^14*b^8 - 160*a^15*b^7 - 120*a^16*b^6 + 120*a^17*b^5 + 48*a^18*b^4 - 48*a^19*b^3
- 8*a^20*b^2))/(a^4*(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6
+ 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2))))/a^4))/a^4))*2i)/(a^4*d) - (b*atan(((b*((8*tan(c/2 +
(d*x)/2)*(4*A^2*a^14 + 8*A^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 8*A^2*a^13*b - 48*A^2*a^2*b^12 + 48*A^2*a^3*b^11 + 117*A^2*
a^4*b^10 - 120*A^2*a^5*b^9 - 164*A^2*a^6*b^8 + 160*A^2*a^7*b^7 + 156*A^2*a^8*b^6 - 120*A^2*a^9*b^5 - 92*A^2*a^
10*b^4 + 48*A^2*a^11*b^3 + 44*A^2*a^12*b^2 + C^2*a^8*b^6 + 8*C^2*a^10*b^4 + 16*C^2*a^12*b^2 - 4*A*C*a^4*b^10 -
2*A*C*a^6*b^8 + 40*A*C*a^8*b^6 - 48*A*C*a^10*b^4 + 64*A*C*a^12*b^2))/(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5
*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2) - (b*(
(8*(4*A*a^21 - 4*A*a^8*b^13 + 2*A*a^9*b^12 + 26*A*a^10*b^11 - 14*A*a^11*b^10 - 70*A*a^12*b^9 + 30*A*a^13*b^8 +
110*A*a^14*b^7 - 30*A*a^15*b^6 - 110*A*a^16*b^5 + 20*A*a^17*b^4 + 64*A*a^18*b^3 - 12*A*a^19*b^2 - 2*C*a^11*b^
10 + 2*C*a^12*b^9 - 2*C*a^13*b^8 + 2*C*a^14*b^7 + 18*C*a^15*b^6 - 18*C*a^16*b^5 - 22*C*a^17*b^4 + 22*C*a^18*b^
3 + 8*C*a^19*b^2 - 16*A*a^20*b - 8*C*a^20*b))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10 + 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^8
- 10*a^13*b^7 - 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(
-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2)*(8*a^21*b -
8*a^8*b^14 + 8*a^9*b^13 + 48*a^10*b^12 - 48*a^11*b^11 - 120*a^12*b^10 + 120*a^13*b^9 + 160*a^14*b^8 - 160*a^15
*b^7 - 120*a^16*b^6 + 120*a^17*b^5 + 48*a^18*b^4 - 48*a^19*b^3 - 8*a^20*b^2))/((a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 -
21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)*(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*
a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2)))*(-(a
+ b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*
b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^
7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2)*1i)/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6
*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)) + (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^
2*a^14 + 8*A^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 8*A^2*a^13*b - 48*A^2*a^2*b^12 + 48*A^2*a^3*b^11 + 117*A^2*a^4*b^10 - 120
*A^2*a^5*b^9 - 164*A^2*a^6*b^8 + 160*A^2*a^7*b^7 + 156*A^2*a^8*b^6 - 120*A^2*a^9*b^5 - 92*A^2*a^10*b^4 + 48*A^
2*a^11*b^3 + 44*A^2*a^12*b^2 + C^2*a^8*b^6 + 8*C^2*a^10*b^4 + 16*C^2*a^12*b^2 - 4*A*C*a^4*b^10 - 2*A*C*a^6*b^8
+ 40*A*C*a^8*b^6 - 48*A*C*a^10*b^4 + 64*A*C*a^12*b^2))/(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a
^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2) + (b*((8*(4*A*a^21 -
4*A*a^8*b^13 + 2*A*a^9*b^12 + 26*A*a^10*b^11 - 14*A*a^11*b^10 - 70*A*a^12*b^9 + 30*A*a^13*b^8 + 110*A*a^14*b^
7 - 30*A*a^15*b^6 - 110*A*a^16*b^5 + 20*A*a^17*b^4 + 64*A*a^18*b^3 - 12*A*a^19*b^2 - 2*C*a^11*b^10 + 2*C*a^12*
b^9 - 2*C*a^13*b^8 + 2*C*a^14*b^7 + 18*C*a^15*b^6 - 18*C*a^16*b^5 - 22*C*a^17*b^4 + 22*C*a^18*b^3 + 8*C*a^19*b
^2 - 16*A*a^20*b - 8*C*a^20*b))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10 + 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^8 - 10*a^13*b^7
- 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a
- b)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2)*(8*a^21*b - 8*a^8*b^14 + 8
*a^9*b^13 + 48*a^10*b^12 - 48*a^11*b^11 - 120*a^12*b^10 + 120*a^13*b^9 + 160*a^14*b^8 - 160*a^15*b^7 - 120*a^1
6*b^6 + 120*a^17*b^5 + 48*a^18*b^4 - 48*a^19*b^3 - 8*a^20*b^2))/((a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 +
35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)*(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^
9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)
^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b
^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*
a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2)*1i)/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8
*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))/((16*(4*A^3*b^13 - 2*A^3*a*b^12 + 16*A^3*a^12*
b - 26*A^3*a^2*b^11 + 11*A^3*a^3*b^10 + 70*A^3*a^4*b^9 - 34*A^3*a^5*b^8 - 110*A^3*a^6*b^7 + 66*A^3*a^7*b^6 + 1
10*A^3*a^8*b^5 - 64*A^3*a^9*b^4 - 64*A^3*a^10*b^3 + 48*A^3*a^11*b^2 + 8*A^2*C*a^12*b + A*C^2*a^7*b^6 + 8*A*C^2
*a^9*b^4 + 16*A*C^2*a^11*b^2 - 2*A^2*C*a^3*b^10 - 2*A^2*C*a^4*b^9 - 2*A^2*C*a^6*b^7 + 22*A^2*C*a^7*b^6 + 18*A^
2*C*a^8*b^5 - 26*A^2*C*a^9*b^4 - 22*A^2*C*a^10*b^3 + 56*A^2*C*a^11*b^2))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10
+ 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^8 - 10*a^13*b^7 - 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2)
- (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*a^14 + 8*A^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 8*A^2*a^13*b - 48*A^2*a^2*b^12 + 48*A^2*
a^3*b^11 + 117*A^2*a^4*b^10 - 120*A^2*a^5*b^9 - 164*A^2*a^6*b^8 + 160*A^2*a^7*b^7 + 156*A^2*a^8*b^6 - 120*A^2*
a^9*b^5 - 92*A^2*a^10*b^4 + 48*A^2*a^11*b^3 + 44*A^2*a^12*b^2 + C^2*a^8*b^6 + 8*C^2*a^10*b^4 + 16*C^2*a^12*b^2
- 4*A*C*a^4*b^10 - 2*A*C*a^6*b^8 + 40*A*C*a^8*b^6 - 48*A*C*a^10*b^4 + 64*A*C*a^12*b^2))/(a^16*b + a^17 - a^6*
b^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 -
5*a^15*b^2) - (b*((8*(4*A*a^21 - 4*A*a^8*b^13 + 2*A*a^9*b^12 + 26*A*a^10*b^11 - 14*A*a^11*b^10 - 70*A*a^12*b^
9 + 30*A*a^13*b^8 + 110*A*a^14*b^7 - 30*A*a^15*b^6 - 110*A*a^16*b^5 + 20*A*a^17*b^4 + 64*A*a^18*b^3 - 12*A*a^1
9*b^2 - 2*C*a^11*b^10 + 2*C*a^12*b^9 - 2*C*a^13*b^8 + 2*C*a^14*b^7 + 18*C*a^15*b^6 - 18*C*a^16*b^5 - 22*C*a^17
*b^4 + 22*C*a^18*b^3 + 8*C*a^19*b^2 - 16*A*a^20*b - 8*C*a^20*b))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10 + 5*a^1
1*b^9 + 5*a^12*b^8 - 10*a^13*b^7 - 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2) - (4*b*t
an(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^
4*b^2)*(8*a^21*b - 8*a^8*b^14 + 8*a^9*b^13 + 48*a^10*b^12 - 48*a^11*b^11 - 120*a^12*b^10 + 120*a^13*b^9 + 160*
a^14*b^8 - 160*a^15*b^7 - 120*a^16*b^6 + 120*a^17*b^5 + 48*a^18*b^4 - 48*a^19*b^3 - 8*a^20*b^2))/((a^18 - a^4*
b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)*(a^16*b + a^17 - a^6*b
^11 - a^7*b^10 + 5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 -
5*a^15*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^
2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(
-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2))/(2*(a^18 -
a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)) + (b*((8*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(4*A^2*a^14 + 8*A^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 8*A^2*a^13*b - 48*A^2*a^2*b^12 + 48*A^2*a^3*b^11 + 117*A^
2*a^4*b^10 - 120*A^2*a^5*b^9 - 164*A^2*a^6*b^8 + 160*A^2*a^7*b^7 + 156*A^2*a^8*b^6 - 120*A^2*a^9*b^5 - 92*A^2*
a^10*b^4 + 48*A^2*a^11*b^3 + 44*A^2*a^12*b^2 + C^2*a^8*b^6 + 8*C^2*a^10*b^4 + 16*C^2*a^12*b^2 - 4*A*C*a^4*b^10
- 2*A*C*a^6*b^8 + 40*A*C*a^8*b^6 - 48*A*C*a^10*b^4 + 64*A*C*a^12*b^2))/(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 +
5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2) + (b
*((8*(4*A*a^21 - 4*A*a^8*b^13 + 2*A*a^9*b^12 + 26*A*a^10*b^11 - 14*A*a^11*b^10 - 70*A*a^12*b^9 + 30*A*a^13*b^8
+ 110*A*a^14*b^7 - 30*A*a^15*b^6 - 110*A*a^16*b^5 + 20*A*a^17*b^4 + 64*A*a^18*b^3 - 12*A*a^19*b^2 - 2*C*a^11*
b^10 + 2*C*a^12*b^9 - 2*C*a^13*b^8 + 2*C*a^14*b^7 + 18*C*a^15*b^6 - 18*C*a^16*b^5 - 22*C*a^17*b^4 + 22*C*a^18*
b^3 + 8*C*a^19*b^2 - 16*A*a^20*b - 8*C*a^20*b))/(a^19*b + a^20 - a^9*b^11 - a^10*b^10 + 5*a^11*b^9 + 5*a^12*b^
8 - 10*a^13*b^7 - 10*a^14*b^6 + 10*a^15*b^5 + 10*a^16*b^4 - 5*a^17*b^3 - 5*a^18*b^2) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)
*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2)*(8*a^21*b
- 8*a^8*b^14 + 8*a^9*b^13 + 48*a^10*b^12 - 48*a^11*b^11 - 120*a^12*b^10 + 120*a^13*b^9 + 160*a^14*b^8 - 160*a^
15*b^7 - 120*a^16*b^6 + 120*a^17*b^5 + 48*a^18*b^4 - 48*a^19*b^3 - 8*a^20*b^2))/((a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12
- 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)*(a^16*b + a^17 - a^6*b^11 - a^7*b^10 +
5*a^8*b^9 + 5*a^9*b^8 - 10*a^10*b^7 - 10*a^11*b^6 + 10*a^12*b^5 + 10*a^13*b^4 - 5*a^14*b^3 - 5*a^15*b^2)))*(-(
a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^
4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b
)^7)^(1/2)*(8*A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*
b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2))))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*
A*a^6 - 2*A*b^6 + 4*C*a^6 + 7*A*a^2*b^4 - 8*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2)*1i)/(d*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a
^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2))